Trigonométrie_1

TRIGONOMETRIE

A0. Les bases.

Dans chaque triangle rectangle ci-dessous, déterminer la longueur des côtés et les valeurs des angles qui n’apparaissent pas.

a.

Rect1

........................................................................................................................................

........................................................................................................................................

........................................................................................................................................

........................................................................................................................................

b.

Rect1

........................................................................................................................................

........................................................................................................................................

........................................................................................................................................

........................................................................................................................................

c.

Rect1

........................................................................................................................................

........................................................................................................................................

........................................................................................................................................

........................................................................................................................................

d.

Rect1

........................................................................................................................................

........................................................................................................................................

........................................................................................................................................

........................................................................................................................................

 

RAPPELS :

Rect1

Théorème de Pythagore :

.................................................................

$cos \widehat B =$.................... ; $cos \widehat C =$....................

$sin \widehat B =$.................... ; $sin \widehat C =$....................

$tan \widehat B =$.................... ; $tan \widehat C =$....................

 

A1. Le radian.

A11. Longueur d'un arc de cercle.

A11a. Expérience 1.

$\bullet$ Déplacer le curseur R.

https://www.geogebra.org/m/twfcsgmj

$\bullet$ Compléter le tableau ci-dessous.

 

Arc de cercle.

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

Longueur L

           

Rayon R

           

$\dfrac {L}{R}$

           

 

$\bullet$ Quelle grandeur n’a pas varié pour les six arcs-de-cercle ? .....................................

$\bullet$ Conclusion 1 : La longueur $L$ de l'arc de cercle est ......................... au ....................

$L \ = \ ....... \times .......$

 

A11b. Expérience 2.

$\bullet$ Déplacer le curseur $\alpha$.

https://www.geogebra.org/m/haqvqv8n

$\bullet$ Compléter le tableau ci-dessous.

 

Arc de cercle.

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

Longueur L

           

Angle $\alpha$

           

$\dfrac {L}{\alpha}$

           

 

$\bullet$ Quelle grandeur n’a pas varié pour les six arcs-de-cercle ? .....................................

$\bullet$ Conclusion 2 : La longueur $L$ de l'arc de cercle est ......................... à ....................

$L \ = \ ....... \times .......$

 

A11b. Conclusion :

$\bullet$ La longueur de l'arc de cercle est .................... au .................. et à ...................

$\bullet$ Cette longueur ne dépend que de ces paramètres.

Donc :

$L \ = \ .......................$

 

A12. Définition.

 

$\bullet$ Sur le cercle de rayon $R \ = \ 1$, pour quelle valeur de l'angle $\alpha$, la longueur $L$ est-elle égale à $1$ ? ..............................................................

$\bullet$ Quelle est la longueur du demi-cercle ? ..............................................................

$\bullet$ Quel est la valeur de l’angle correspondant ? ..............................................................

$\bullet$ Quel est ce nombre ? ..............................................................

 

Le radian correspond à l’angle qui intercepte une longueur de 1 sur un cercle de rayon 1.

L'angle plat (180°) correspond à

................. radians.

 

A13. Position d'angle courants.

Pour chacun des angles exprimés en degrés, donner la valeur de l’angle en radians sur le cercle trigonométrique.

Angles

A2. Les fonctions trigonométriques.

A21. Le cercle trigonométrique.

Le cercle trigonométrique a pour centre $O \left ( 0 \ ; \ 0 \right )$ et pour rayon $R \ = \ 1$.

Le plan est orienté : le sens de rotation est le sens antihoraire.

Horloge
Cercle trigonometrique

 

A22. Définitions.

Sin cos

$\bullet$ On considère le point $M$ sur le cercle trigonométrique.

$\bullet$ On note $\alpha$, l'angle $\widehat {HOM}$.

$\bullet$ $H$ est le projeté orthogonal de $M$ sur l'axe des abscisses.

$\bullet$ $H'$ est le projeté orthogonal de $M$ sur l'axe des ordonnées.

 

1. En se plaçant dans le triangle rectangle $OHM$, déterminer l'abscisse du point $M$.

............................................................

2. En se plaçant dans le triangle rectangle $OHM$, déterminer l'ordonnée du point $M$.

............................................................

3. En utilisant le théorème de Pythagore, déterminer une relation entre ces deux grandeurs.

............................................................

4. Dans quel intervalle se trouvent ces deux grandeurs ?

............................................................

 

A23. Représentations graphiques.

A23a. Le sinus.

$\bullet$ En utilisant Geogebra, représenter la fonction $x \mapsto sin x$ pour $x \in \left [ -2 \pi \ ; \ 2 \pi \right ]$.

Quad

$\bullet$ Déterminer la période de la fonction $x \mapsto sin x$. ...........................................

$\bullet$ Déterminer la parité de la fonction $x \mapsto sin x$. ...........................................

 

A23. Représentations graphiques.

A23a. Le cosinus.

$\bullet$ En utilisant Geogebra, représenter la fonction $x \mapsto cos x$ pour $x \in \left [ -2 \pi \ ; \ 2 \pi \right ]$.

Quad

$\bullet$ Déterminer la période de la fonction $x \mapsto cos x$. ...........................................

$\bullet$ Déterminer la parité de la fonction $x \mapsto cos x$. ...........................................

A3. Les relations entre le cosinus et le sinus.

A31. Valeurs particulières.

Angle en degrés

$0$

$30$

$45$

$60$

$90$

$180$

Angle en radians

$0$

$\dfrac{\pi}{6}$

$\dfrac{\pi}{4}$

$\dfrac{\pi}{3}$

$\dfrac{\pi}{2}$

$\pi$

$sin$

$0$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{\sqrt 2}{2}$

$\dfrac{\sqrt 3}{2}$

$1$

$0$

$cos$

$1$

$\dfrac{\sqrt 3}{2}$

$\dfrac{\sqrt 2}{2}$

$\dfrac{1}{2}$

$0$

$-1$

 

A32. Relations.

A32a. Angle opposé.

Cercle trigonometrique

$ \bullet$ Placer les angles $\alpha$ et $ - \ \alpha$ sur le cercle trigonométrique.

$ \bullet$ En déduire la relation entre $cos \left ( \alpha \right )$ et $cos \left ( - \ \alpha \right )$ .

$ \bullet$ En déduire la relation entre $sin \left ( \alpha \right )$ et $sin \left ( - \ \alpha \right )$ .

 

En utilisant Geogebra :

$\bullet$ Vérifier la première relation en traçant les fonctions $x \mapsto cos \left ( \alpha \right )$ et $x \mapsto cos \left ( - \ \alpha \right )$

$\bullet$ Vérifier la première relation en traçant les fonctions $x \mapsto sin \left ( \alpha \right )$ et $x \mapsto sin \left ( - \ \alpha \right )$

 

A32b. Angle supplémentaitre.

$\bullet \ \alpha \ \ et \ \ \pi - \alpha$

Cercle trigonometrique

$ \bullet$ Placer les angles $\alpha$ et $ \pi - \alpha$ sur le cercle trigonométrique.

$ \bullet$ En déduire la relation entre $cos \left ( \alpha \right )$ et $cos \left ( \pi - \alpha \right )$ .

$ \bullet$ En déduire la relation entre $sin \left ( \alpha \right )$ et $sin \left ( \pi - \alpha \right )$ .

 

 

En utilisant Geogebra :

$\bullet$ Vérifier la première relation en traçant les fonctions $x \mapsto cos \left ( \alpha \right )$ et $x \mapsto cos \left ( \pi - \alpha \right )$

$\bullet$ Vérifier la première relation en traçant les fonctions $x \mapsto sin \left ( \alpha \right )$ et $x \mapsto sin \left ( \pi - \alpha \right )$

 

 

$\bullet \ \alpha \ \ et \ \ \pi + \alpha$

Cercle trigonometrique

$ \bullet$ Placer les angles $\alpha$ et $ \pi + \alpha$ sur le cercle trigonométrique.

$ \bullet$ En déduire la relation entre $cos \left ( \alpha \right )$ et $cos \left ( \pi + \alpha \right )$ .

$ \bullet$ En déduire la relation entre $sin \left ( \alpha \right )$ et $sin \left ( \pi + \alpha \right )$ .

 

En utilisant Geogebra :

$\bullet$ Vérifier la première relation en traçant les fonctions $x \mapsto cos \left ( \alpha \right )$ et $x \mapsto cos \left ( \pi + \alpha \right )$

$\bullet$ Vérifier la première relation en traçant les fonctions $x \mapsto sin \left ( \alpha \right )$ et $x \mapsto sin \left ( \pi + \alpha \right )$

A32c. Angle complémentaire.

$\bullet \ \alpha \ \ et \ \ \dfrac{\pi}{2} - \alpha$

Cercle trigonometrique

$ \bullet$ Placer les angles $\alpha$ et $ \dfrac{\pi}{2} - \alpha$ sur le cercle trigonométrique.

$ \bullet$ En déduire la relation entre $cos \left ( \alpha \right )$ et $sin \left ( \dfrac{\pi}{2} - \alpha \right )$ .

$ \bullet$ En déduire la relation entre $sin \left ( \alpha \right )$ et $cos \left ( \dfrac{\pi}{2} - \alpha \right )$ .

 

 

En utilisant Geogebra :

$\bullet$ Vérifier la première relation en traçant les fonctions $x \mapsto cos \left ( \alpha \right )$ et $x \mapsto sin \left ( \dfrac{\pi}{2} - \alpha \right )$

$\bullet$ Vérifier la première relation en traçant les fonctions $x \mapsto sin \left ( \alpha \right )$ et $x \mapsto cos \left ( \dfrac{\pi}{2} - \alpha \right )$

 

 

$\bullet \ \alpha \ \ et \ \ \dfrac{\pi}{2} + \alpha$

Cercle trigonometrique

$ \bullet$ Placer les angles $\alpha$ et $ \dfrac{\pi}{2} + \alpha$ sur le cercle trigonométrique.

$ \bullet$ En déduire la relation entre $cos \left ( \alpha \right )$ et $sin \left ( \dfrac{\pi}{2} + \alpha \right )$ .

$ \bullet$ En déduire la relation entre $sin \left ( \alpha \right )$ et $cos \left ( \dfrac{\pi}{2} + \alpha \right )$ .

 

En utilisant Geogebra :

$\bullet$ Vérifier la première relation en traçant les fonctions $x \mapsto cos \left ( \alpha \right )$ et $x \mapsto sin \left ( \dfrac{\pi}{2} + \alpha \right )$

$\bullet$ Vérifier la première relation en traçant les fonctions $x \mapsto sin \left ( \alpha \right )$ et $x \mapsto cos \left ( \dfrac{\pi}{2}+ \alpha \right )$

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