Systèmes Electriques

ACTIVITES

A1. Résitor est condensateur.

En quoi le comportement d'un condensateur est-il différent de celui d'un résistor ?

A11. Présentation.

A12. Analyser.

• Expliquer la différence entre un condensateur chargé et un condensateur non chargé.

• En régime stationnaire, préciser si le condensateur se comporte comme un interrupteur fermé ou ouvert.

• Déterminer l'instant t pour lequel la tension aux bornes du résistor atteint sa valeur maximale.

• Déterminer l'instant t pour lequel la tension aux bornes du condensateur atteint sa valeur maximale.

• En déduire la valeur du régime transitoire.

A13. Communiquer.

• Lister les principales différences entre les deux composants.

A2. Capacité d'un condensateur.

A quoi correspond la capacité d'un condensateur ?

A21. Définition.

•Déterminer la capacité du condensateur utilisé dans le Doc1.

A22. Condensateur "made in house®".

• Réaliser le montage ci-dessus et déterminer la valeur de la capacité C du condensateur.

A23. Caractéristiques du condensateur.

• Etudier la relation entre les caractéristiques géométriques du condensateur et sa capacité, en déterminant les relations entre $C$, $e$ et $S$. Proposer des modifications pour augmenter sa capacité.

A3. Courant électrique dans un circuit RC

Quelle est le lien entre l'intensité et la tension aux bornes d'un condensateur ? Modéliser l'évolution temporelle du système.

Doc1. Schéma du circuit. Matériel : • Système d'acquisition (oscilloscope à mémoire avec transfert de données possible, interface d'acquisition, microcontrôleur type arduino). • 2 sondes différentielles. • Condensateur de capacité voisine de $10^{ \ - 5} \ F$. • Alimentation stabilisée. • Interrupteur. • Fil de connexion. • Résistor de résistance de l'ordre du $M \Omega$.

A31. Réaliser.

• Réaliser le montage présenté au cours de la charge, suivre l'évolution des temps tensions $u_c(t)$ et $u_r(t)$ au cours du temps. Les représenter.

• Proposer une méthode pour obtenir l'intensité du courant $i(t)$.

• A l'aide du programme Python fourni, représenter la dérivée de la tension $u_c(t)$ par rapport au temps. Tracez alors $i(t)$ en fonction de $\dfrac{du_c(t)}{dt}$.

• Justifier que $i(t)$ est proportionnelle à $\dfrac{du_c(t)}{dt}$ . Vérifier que le coefficient de proportionnalité correspond à la capacité $C$ du condensateur utilisé.

A32. Valider.

• Déterminer la relation entre la tension uc(t) aux bornes du condensateur et l'intensité i(t) .

EXERCICES P 510 à 517

15 ; 16 ; 20 ; 22 ; 23 ; 25 ; 29 ; 35

COURS

C1. Le modèle du condensateur.

C11. Intensité du courant électrique et charge électrique.

Le courant électrique est dû à un déplacement de charges électriques . Dans les matériaux électriques, il s'agit des électrons. L'intensité du courant électrique l'intensité du courant électrique correspond au débit de charges, c'est-à-dire, la quantité temporelle de charges qui traverse la surface du conducteur : $i(t) \ = \ \dfrac{dq(t)}{dt}$ $i(t)$ : intensité du courant en ampère (A) $q(t)$ : quantité d'électricité en coulomb (C) $t$ : temps en seconde (s)

C12. Le condensateur.

C12a. Principe.

En approchant un matériau conducteur chargé d'un autre matériau non chargé, il se produit une accumulation de charges opposées sur le deuxième corps (effet électrostatique).

C12b. Composant électrique.

Le condensateur est constitué deux plaques (armatures). Le courant électrique arrivant sur la plaque en A, il s'accumule une charge positive +q sur cette plaque. En B, la plaque se charge négativement égale à la charge positive en valeur absolue. Dès lors, apparait une tension Uc entre les plaques.

C13. Capacité.

La capacité d'un condensateur dépend de sa géométrie et du matériau isolant :

$C \ = \ \dfrac{\epsilon \times S}{e}$

$C$: capacité en farad (F)

$\epsilon$ : permittivité du constituant ($F.m^{ \ -1})$)

$S$ : surface des plaques ($m^{ \ 2}$)

$e$ : distance séparant les plaques (m)

C14. Comportement capacitif.

Des deux relations précédentes : $i(t) \ = \ \dfrac{dq(t)}{dt}$ et $q(t) \ = \ C \times U(t)$ , on en déduit que :

Cette relation est une EQUATION DIFFERENTIELLE (relation entre une fonction et ses dérivées).

L'intensité $i(t)$ est en avance sur la tension $U(t)$.

C2. Modèle du circuit RC série.

C21. Charge.

On considère un circuit RC. A l'instant $t = 0$, le condensateur est déchargé : $q(t = 0) \ = \ 0 \ C$. Le système est soumis à un générateur idéal de tension continue $E$. On note $U_r$ et $U_c$, les tensions respectives aux bornes du résistor et du condensateur.

D'après la loi des mailles : $\bf{{\color{red}E} \ = \ {\color{blue}{U_r(t)}} \ + \ {\color{green}{U_c(t)}}}$

D'après la loi d'ohm : $\bf{ {\color{blue}{U_r(t) \ = \ R \ \times \ i(t)}}}$

Alors : $\bf{{\color{red}E} \ = \ {\color{blue}{R \ \times \ i(t)}} \ + \ {\color{green}{U_c(t)}}}$

On sait que : $q(t) \ = \ C \times U_c(t)$ et $i(t) \ = \ \dfrac{dq(t)}{dt}$

Donc : $E \ = \ U_c(t) \ + \ RC \times \dfrac{dU_c(t)}{dt}$

Donc : $\bf{{\color{red}{ \ \ \dfrac{dU_c(t)}{dt} \ + \ \dfrac{1}{RC} \times U_c(t) \ = \ \dfrac{E}{RC} \ \ }}} $

La relation obtenue est une équation différentielle à coefficients constants.

Les solutions sont de la forme : $\bf{U_c(t) \ = A \ \times \ e^{ \ - \ \alpha \times t} \ + \ B }$.

RESOLUTION.

• A l'instant t = 0 : le condensateur étant déchargé, la tension à ses bornes est nulle.

On en déduit : $U_c(0) \ = \ 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ B \ = \ - \ A$.

Alors : $\bf{U_c(t) \ = A \ \times \left ( e^{ \ - \ \alpha \times t} \ - \ 1 \right ) }$

• En reportant dans l'équation différentielle :

$ A \ \times \left ( e^{ \ - \ \alpha \times t} \ - \ 1 \right ) \ - \ A.\alpha.RC.e^{ \ - \ \alpha \times t} \ = \ E$

$\Leftrightarrow \ \ A \ \times \left ( 1 \ - \ \alpha.RC \right ).e^{ \ - \ \alpha \times t} \ - \ A \ = \ E$

• Le terme E étant indépendant du temps :

Finalement : $\bf{{\color{red}{ \ \ \ U_c(t) \ = \ E \times \left ( 1 \ - \ e^{ \ - \ \dfrac{ \ t }{RC}} \right ) }}} $

La tension augmente en fonction du temps jusqu'à atteindre la tension imposée par le générateur.   Dans l'intervalle où la tension varie, on parle de régime transitoire. Lorsqu'elle ne varie plus, on parle de régime permanent.

C22. Décharge.

A l'instant $t = 0$, le condensateur chargé sous une tension E, se décharge dans le résistor.   On note Ur et Uc, les tensions respectives aux bornes du résistor et du condensateur.

Donc : $\bf{{\color{red}{ \  \  \ U_c(t) \ + \ RC \times \ \dfrac{dU_c(t)}{dt} \ = \ 0 \ \ }}} $

La relation obtenue est une équation différentielle à coefficients constants.

Les solutions sont de la forme : $\bf{U_c(t) \ = A \ \times \ e^{ \ - \ \alpha \times t} \ + \ B }$.

RESOLUTION.

• A l'instant t = 0 : le condensateur étant chargé, la tension à ses bornes est : $U_c(0) \ = \ E \ = \ A \ + \ B$.

Alors : $\bf{U_c(t) \ = A \ \times \ e^{ \ - \ \alpha \times t} \ + \ E \ - \ A }$.

• En reportant dans l'équation différentielle :

$ A \times e^{ \ - \ \alpha \times t} \ + \ E \ - \ A \ - \ ARC \alpha \times e^{ \ - \ \alpha \times t}$.

$\Leftrightarrow \ \ A \ \times \times e^{ \ - \ \alpha \times t} \left ( 1 \ - RC \alpha \right ) \ + \ E \ - \ A \ = \ 0 $

Donc :

Finalement : $\bf{{\color{red}{ \ \ \ U_c(t) \ = \ E \times \ e^{ \ - \ \dfrac{ \ t }{RC}} }}} $

La tension diminue jusqu'à s'annuler.

C23. Temps caractéristique.

C23a. Définition.

Le temps $\tau \ = \ RC$ est appelé TEMPS CARACTERISTIQUE.

Il permet d'évaluer la durée de la charge ou de décharge.

Ce temps augmente avec la valeur de R et de C.

On considère que le condensateur est chargé à $t = 5 \times \tau$.

C23b. Détermination graphique.

• Première méthode : on détermine $Uc(\tau)$, puis on lit graphiquement son abscisse.

• Deuxième méthode : C'est l'abscisse de l'intersection de la tangente à l'origine avec la tangente horizontale à l'infini.

NB : à $t \ = \ \tau$ : $Uc(\tau) = 0,63 \times E$.