Equation du Premier Degré

RESOLUTION D’UN PROBLEME

DU PREMIER DEGRE

A1. Etude d’une espèce d’éléphant.

C’est en revenant d’une de ses nombreuses expéditions de par le Monde, que le professeur Astolfi ramena d’Afrique une espèce jusqu’alors inconnue d’Eléphant pygmée. Désirant tout connaître de cet animal, il se mit alors (entre autres) à vouloir déterminer sa masse en menant les expériences les plus folles…

A11. 1ère situation.

	Appelons x la masse inconnue de l’éléphant a) Traduire en une égalité faisant intervenir x les deux équilibres réalisés. .................................................................................. .................................................................................. .................................................................................. b) Comment Astolfi est-il passé d’une égalité à l’autre ? .................................................................................. .................................................................................. ..................................................................................
.......................................................................................

.......................................................................................

A12. 2ème situation.

	Appelons x la masse inconnue de l’éléphant a) Traduire en une égalité faisant intervenir x les deux équilibres réalisés. .................................................................................. .................................................................................. .................................................................................. b) Comment Astolfi est-il passé d’une égalité à l’autre ? .................................................................................. .................................................................................. ..................................................................................
.......................................................................................

.......................................................................................

A13. 3ème situation.

	Appelons x la masse inconnue de l’éléphant a) Traduire en une égalité faisant intervenir x les deux équilibres réalisés. .................................................................................. .................................................................................. .................................................................................. b) Comment Astolfi est-il passé d’une égalité à l’autre ? .................................................................................. .................................................................................. ..................................................................................
.......................................................................................

.......................................................................................

A14. Avous de jouer !!

Déterminer la valeur de l’inconnue dans chaque situation :

$x+120 = 72$

$\Leftrightarrow ............$

$S= \left \{ ..... \right \} $

$y-48 = 100$

$\Leftrightarrow ............$

$S= \left \{ ..... \right \} $

$z-2 = -5$

$\Leftrightarrow ............$

$S= \left \{ ..... \right \} $

$t+1 = -5$

$\Leftrightarrow ............$

$S= \left \{ ..... \right \} $

$3a = 5$

$\Leftrightarrow ............$

$S= \left \{ ..... \right \} $

$-5b = 8$

$\Leftrightarrow ............$

$S= \left \{ ..... \right \} $

$\dfrac {c}{2}=4$

$\Leftrightarrow ............$

$S= \left \{ ..... \right \} $

$\dfrac {3d}{5}= - \dfrac {2}{3}$

$\Leftrightarrow ............$

$S= \left \{ ..... \right \} $

$2\alpha -5 = 3$

$\Leftrightarrow ............$

$S= \left \{ ..... \right \} $

$3 \beta +7 = -5 $

$\Leftrightarrow ............$

$S= \left \{ ..... \right \} $

$\dfrac {1}{2} \gamma -\dfrac{5}{3}=3$

$\Leftrightarrow ............$

$S= \left \{ ..... \right \} $

$4 \delta - 8 = 6 \delta +3$

$\Leftrightarrow ............$

$S= \left \{ ..... \right \} $

A2. Graphiquement.

A21. Au secours d'Astolfi !

Une fois ses études achevées, notre bon professeur Astolfi doit ramener ses résultats à l’Académie des Sciences. Malheur ! Il s’est fait dérober son ordinateur portable par la fourbe Lucciani qui s’enfuit en direction de Paris. Mais Astolfi a gardé tous ses résultats sur sa clef USB, il saute dans son véhicule et prend l’autoroute en direction de Paris, espérant atteindre l’Académie avant son ennemie.

La distance qu’il reste à parcourir pour Astolfi est : $y_A=150-150x$

La distance qu’il reste à parcourir pour Luciani est : $y_L=120-80x$

x représente le temps en heures

? Remplir le tableau suivant :

$x$	0	0,2	0,5	0,8	1	1,5
$y_A=150-150x$
$y_L=120-80x$

? Pour chacun, représenter la distance y qu’il lui reste à parcourir en fonction du temps x.

Repere 4

? Combien de temps faut-il à Astolfi ? x_A=

? Combien de temps faut-il à Luciani ? x_L=

? Qui arrive le premier ? L’Honneur de la Science est-il sauf ?

? Les deux droites se coupent. Déterminer à quel instant. Que se passe-t-il à ce moment ?

? Retrouver ces valeurs à l'aide de votre calculatrice et du logiciel GeoGebra.

A22. A vous de jouer

Résoudre graphiquement les équations proposées.

$a) 2x-5=0$

$D_1 : y = 2x-5 $

	A	B
x
y

$b) -2x-4=0$

$D_2 : y = -2x-4 $

	C	D
x
y

$c) 3x+2=-x-6$

$D_3 : y = 3x+2 $

	E	F
x
y

$D_2 : y = -x-6 $

	G	H
x
y

A23 Avec la calculatrice.

Vérifier avec la calculatrice que les solutions proposées sont les bonnes :

En remplaçant x par la valeur déterminée.

? En traçant les droites et en cherchant le point d’intersection.

? En utilisant le tableur.

? En résolvant l’équation papier/crayon, puis avec la calculatrice graphique.

Choix calculatrice

A24. Avec GeoGebra.

A24a. ax+b=0.

A24b. ax+b=cx+d.

A3 Inéquations.

Mimie doit préparer une tarte à l’orange et une tarte au citron pour l’anniversaire de Ciccolo.

Elle se rend au marché pour acheter ses fruits.

Devant elle, le vendeur effectue plusieurs pesées.

A31. Des oranges.

1ère situation :

Appelons x la masse d'une orange

a) Traduire la situation ci-contre à l'aide d'une inégalité

..................................................................................

b) En déduire dans quel intervalle se situe la masse d'une orange.

..................................................................................

2ème situation :

a) Traduire la situation ci-contre à l'aide d'une inégalité

..................................................................................

b) Quelle manipulation aurait pu éviter le vendeur ?

..................................................................................

c) Transformer alors l’inégalité ci-dessus.

..................................................................................

d) En déduire dans quel intervalle se trouve la masse d'une orange

..................................................................................

? En utilisant les deux résultats précédents, repasser l’intervalle dans lequel se trouve la masse d’une orange.

Axe

? Quel est l’intervalle correspondant :

$\left [ 0;50 \right ]$

$\left [ 50;100 \right ]$

$\left [ 60;110\right ]$

$\left [ 0;100\right ]$

? Conclusion :

On ne change pas une inéquation en ................................ ou en .......................................

le ............................................................... de chaque côté de l’inégalité.

A32. Des citrons.

3ère situation :

Appelons y la masse d'un citron.

a) Traduire la situation ci-contre à l'aide d'une inégalité

..................................................................................

b) Quelle manipulation aurait pu éviter le vendeur ?

..................................................................................

c) Transformer alors l’inégalité ci-dessus.

..................................................................................

d) En déduire dans quel intervalle se trouve la masse d'un citron.

..................................................................................

4ème situation :

e) Traduire la situation ci-contre à l'aide d'une inégalité

..................................................................................

f) Quelle manipulation aurait pu éviter le vendeur ?

..................................................................................

g) Transformer alors l’inégalité ci-dessus.

..................................................................................

h) En déduire dans quel intervalle se trouve la masse d'un citron.

..................................................................................

? En utilisant les deux résultats précédents, repasser l’intervalle dans lequel se trouve la masse d’un citron.

Axey

? Quel est l’intervalle correspondant :

$\left [ 0;20 \right ]$

$\left [ 50;100 \right ]$

$\left [ 20;100\right ]$

$\left [ 20;50\right ]$

? Conclusion :

On ne change pas une inéquation en ................................ ou en .......................................

le ............................................................... de chaque côté de l’inégalité.

A33. Des oranges et des citrons.

? Rappeler l’intervalle dans lequel est contenue la masse x d’une orange : ........................................

? Rappeler l’intervalle dans lequel est contenue la masse y d’un citron : ........................................

? Au final, Mimie décide d’acheter 3 oranges et 4 citrons.

Exprimer la masse totale de fruits achetés en fonction de x et y..................................................

En déduire deux inéquations vérifiées par x et y.

..........................................................................................................................................

COURS

C1. Résolution d'une équation du premier degré par le calcul.

C11. Faire passer les nombres de l’autre côté.

C11a. Addition et soustraction.

On ne change pas une égalité en ajoutant (ou retranchant) un même nombre de part-et-d' autre de l’égalité.

$ x+a = b $

$ \Leftrightarrow x = b-a $

$ x-a = b $

$ \Leftrightarrow x = b+a $

Exemples : résoudre les équations suivantes.

$ x+50 = 125$

$ \Leftrightarrow ............. $

$S=\left \{ .... \right \} $

$ x-42 = 58$

$ \Leftrightarrow ............. $

$S=\left \{ .... \right \} $

$ x+7 = 5$

$ \Leftrightarrow ............. $

$S=\left \{ .... \right \} $

$ x-3 = -8$

$ \Leftrightarrow ............. $

$S=\left \{ .... \right \} $

C11b. Multiplication et division.

On ne change pas une égalité en multipliant (ou divisant) par un même nombre de part-et-d' autre de l’égalité.

$ a \times x = c $

$ \Leftrightarrow x = \dfrac {b}{a} $

$ \dfrac {x}{a} = b $

$ \Leftrightarrow x = a \times b $

Exemples : résoudre les équations suivantes.

$ 4x = 8$

$ \Leftrightarrow ............. $

$S=\left \{ .... \right \} $

$-3x= 12$

$ \Leftrightarrow ............. $

$S=\left \{ .... \right \} $

$ \dfrac {x}{5} = 9$

$ \Leftrightarrow ............. $

$S=\left \{ .... \right \} $

$ \dfrac {2x}{7} = -\dfrac {3}{4}$

$ \Leftrightarrow ............. $

$S=\left \{ .... \right \} $

C12. Généralisation.

Pour résoudre une équation du premier degré, on appliquera toujours les deux règles précédentes.

1) En faisant passer les termes constants (qui ne contiennent pas l’inconnue) d’un côté (additions et/ou soustractions)

2) En regroupant les termes contenant l’inconnue de l’autre côté (additions et/ou soustractions).

3) En déterminant la valeur de l’inconnue (multiplications et/ou divisions).

NB : L’utilisation de la calculatrice est recommandée pour vérifier que la solution proposée est la bonne.

Exemples : résoudre les équations suivantes.

$ 4x-8 = 8$

$ \Leftrightarrow ............. $

$S=\left \{ .... \right \} $

$3x-9= 6$

$ \Leftrightarrow ............. $

$S=\left \{ .... \right \} $

$ \dfrac {1}{4}x-\dfrac {3}{5} = 2$

$ \Leftrightarrow ............. $

$S=\left \{ .... \right \} $

$ 5x+3=3x-7$

$ \Leftrightarrow ............. $

$S=\left \{ .... \right \} $

C2. Résolution d'une inéquation du premier degré par le calcul.

C21. Faire passer les nombres de l’autre côté.

C21a. Addition et soustraction.

Les méthodes sont les mêmes que pour les équations.

La solution se représenta sous forme d'un intervalle.

Exemple :

$x+5 \leq 3$

$\Leftrightarrow x \leq 3-5$

$\Leftrightarrow x \leq -2$

$S= \ ] -\infty ; 2 \ ]$

Exemples : résoudre les inéquations suivantes.

$ x+50 \leq 125 $

$ \Leftrightarrow ............. $

$S= ......... $

$x-42 \geq 125$

$ \Leftrightarrow ............. $

$S= ......... $

$x+7 > 5$

$ \Leftrightarrow ............. $

$S= ......... $

$ x-3 \leq -8 $

$ \Leftrightarrow ............. $

$S= ......... $

C21b. Multiplication et division.

Les méthodes sont les mêmes que pour les équations.

La solution se représenta sous forme d'un intervalle.

On change le sens de l'inégalité

quand on multiplie ou qu'on divise

par un nombre négatif.

Exemple 1:

$3x+9 \leq 21$

$\Leftrightarrow 3x \leq 21-9$

$\Leftrightarrow 3x \leq 12$

$\Leftrightarrow x \leq \dfrac {12}{3}$

$\Leftrightarrow x \leq 4$

$S= \ ] -\infty ; 4 \ ]$

Exemple 2:

$2x+5< 3x-3$

$\Leftrightarrow 2x-3x <-3-5$

$\Leftrightarrow -x < -8$

$\Leftrightarrow x\color{red}{>} \dfrac {-8}{\color{red}{\bf {-1}}}$

$\Leftrightarrow x \color{red}{\bf>} 8$

$S= \ ]8 ; +\infty \ [$

Exemples : résoudre les inéquations suivantes.

$ 2x+30 \leq 125 $

$ \Leftrightarrow ............. $

$S= ......... $

$-x+42 \geq 38$

$ \Leftrightarrow ............. $

$S= ......... $

$x+7 \geq 3x+9$

$ \Leftrightarrow ............. $

$S= ......... $

$ -5x-3 \leq -2x-9 $

$ \Leftrightarrow ............. $

$S= ......... $

C3. Résolution graphique.

C31. Equation du type $ax + b = 0$.

Résoudre l’équation $ax+b=0$ revient à chercher l’abscisse du point d’intersection de la droite d’équation $y=ax+b$ avec l’axe des abscisses.

NB :

La solution de l'équation $ax+b = 0$ est : $x_0=- \dfrac {b}{a} $

C31. Equation du type $ax + b = cx+d$.

Résoudre l’équation $ax+b=cx+d$ revient à chercher l’abscisse du point d’intersection des droites d’équations $y=ax+b$ et $y=cx+d$.

NB :

La solution de l'équation $ax+b = cx+d$ est : $x_0=\dfrac {d-b}{a-c} $

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