Statistiques à deux variables

STATISTIQUES A DEUX VARIABLES

A1. Caractéristiques d'un générateur.

Situation.

Un lycée vient de recevoir un lot de 500 générateurs pour équiper les Travaux Pratiques de Sciences Physiques. Les professeurs doivent s'assurer que les caractéristiques des appareils correspondent bien à celles données par le fournisseur :

$\bullet$ Force électromotrice : E = 4,45 V.

$\bullet$ Intensité de court-circuit : ICC = 9,0 A.

Un test est réalisé sur un échantillon de 20 générateurs.

Chacun est branché dans un circuit électrique de résistance variable.

On mesure alors la tension $U$ qu’il délivre et l’intensité $I$ dans le circuit.

Les mesures relevées pour un appareils sont placées dans le tableau ci-contre.

Intensité $I(A)$	Tension $U(V)$
0,2	4,38
0,3	4,27
0,5	4,17
0,8	3,95
1,5	3,63
1,7	3,58
2,0	3,52
2,3	3,29
2,5	3,21
2,8	3,05
3,0	2,95
3,2	2,85
3,4	2,69
3,9	2,54
4,2	2,36
4,5	2,10
4,7	2,11
4,9	2,01
5,1	1,92
5,3	1,90

A11. Représentation des données.

$\bullet$ Placer les points dans le repère ci-dessous.

Act 1

$\bullet$ Sur quelle courbe semblent se répartir les points obtenus ?

...................................................................................................................

$\bullet$ Tracer cette courbe et déterminer son équation.

...................................................................................................................

A12. Approximation à l'aide d'un tableur.

$\bullet$ A l'aide du document Excel "Activités_stat_2var.xls", effectuer une représentation du nuage de points :

Activites stat 2var (10.4 Ko)

$\bullet$ Sélectionner les deux colonnes.

$\bullet$ Rendez-vous dans l'onglet "insertion"

$\bullet$ Sélectionner "Nuage"

$\bullet$ Puis "Nuage de points avec courbe lissée"

$\bullet$ Déplacer le graphique dans une nouvelle feuille.

$\bullet$ Cliquer "droit" sur la courbe.

$\bullet$ Sélectionner "ajouter une courbe de tendance".

$\bullet$ Dans l'onglet qui s'affiche, cocher : "linéaire".

$\bullet$ Afficher l'équation sur le graphique.

A13. Conclusion.

$\bullet$ Comparer les résultats obtenus à l'aide des deux méthodes.

...................................................................................................................

$\bullet$ Valider ou non les caractéristiques affichées par le fournisseur :

Le professeur acceptera l'appareil si la tolérance de 5% sur les caractéristiques du fournisseur n’est pas dépassée.

La force électromotrice $E$ est la tension donnée pour une intensité $I \ = \ 0 \ A$.

L’intensité de court-circuit $Icc$ est donnée pour un tension $U \ = \ 0 \ V$.

L'appareil est-il accepté ?

Que représente physiquement le coefficient directeur de la droite ?

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A14. Coefficient de corrélation.

$\bullet$ En utilisant le logiciel Excel, déterminer le coefficient de corrélation $R^2$.

...................................................................................................................

A15. En utilisant la calculatrice.

$\bullet$ Reprendre l'étude en utilisant la mode "stat" de votre calculatrice.

$\bullet$ Comparer les résultats.

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A2. Prévision temporelle.

Situation.

Le tableau suivant correspond aux émissions de gaz à effet de serre (en millions de tonnes équivalent $CO_2$) relevées en France.

Année	2011	2012	2013	2014	2015	2016	2017	2018	2019	2020
Emission	565	561	563	554	558	557	561	545	535	532

A21. Point moyen.

Déterminer les coordonnées $\overline {x_G}$ (moyenne des années) et $\overline {y_G}$ (moyenne des émissions) du point moyen.

...................................................................................................................

A22. Droite d'ajustement.

On suppose que le modèle est assimilable à une variation affine du temps. L'équation de la droite obtenue a pour coefficient directeur $– 3,33$ et passe par le point $G$ déterminé précédemment.

$\bullet$ Déterminer l'équation de cette droite.

...................................................................................................................

$\bullet$ Déterminer l'équation de cette droite.

...................................................................................................................

$\bullet$ Prévoir alors la quantité de gaz à effet de serre en 2025.

...................................................................................................................

$\bullet$ En quelle année cette émission sera-t-elle nulle ?

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A23. En utilisant les outils numériques.

A23a. Avec Excel.

$\bullet$ Retrouver les résultats précédents en utilisant le tableur Excel (Activités.xls)

$\bullet$ Imprimer les résultats sur une seule page.

A23b. Avec la calculatrice.

$\bullet$ Sélectionner le mode "Statistiques"

$\bullet$ Initialiser les colonnes.

$\bullet$ Entrer les valeurs du tableau dans les colonnes.

$\longrightarrow$ Onglet CALC

$\longrightarrow$ Onglet Set

$\bullet$ "1Var XList : List1"

$\bullet$ "1Var XFreq : List2"

$\bullet$ "2Var XList : List1"

$\bullet$ "2Var XFreq : List2"

$\bullet$ "2Var YFreq : 1"

$\longrightarrow$ EXE

$\longrightarrow$ Onglet 2-Var : retrouver les coordonnées du point moyen.

...................................................................................................................

$\longrightarrow$ EXE

$\longrightarrow$ Onglet REG

$\longrightarrow$ Onglet X

$\longrightarrow$ Onglet ax+b : retrouver l'équation de la droite d'ajustement.

...................................................................................................................

A23c. En utilisant un programme "Python".

Dans le programme fourni, placer les données de l'activité au bon endroit.

Faire afficher l'estimation pour l'année 2025.

Comparer avec les outils précédents.

Programme python stat 2var (13.67 Ko)

COURS

C1. Statistiques à deux variables.

C11. Définition.

Une série statistique à deux variables est obtenue lors de l'étude conjointe de deux séries quantitatives.

Si les valeurs prises par le premier caractère sont :

$\left (x_1;x_2;.....;x_n \right )$

et celles prises par le premier caractère sont :

$\left (y_1;y_2;.....;y_n \right )$

L'ensemble des $n$ couples $\left (x_i;y_i \right )$ définit alors les données de la série statistiques à deux variables $X$ et $Y$.

Exemple:

On étudie la taille $y$ (en cm) d'un nourrisson et son âge $x$ (en mois).

$x_i$	$3$	$6$	$9$	$12$	$15$
$y_i$	$59$	$65$	$70$	$74$	$77$

Rq: Les deux séries sont souvent représentées sous forme d'un tableau.

C12. Représentation.

Dans un repère orthogonal, l'ensemble des $n$ points $M_i$ de coordonnées $\left ( x_i;y_i \right )$ forment un nuage de points représentant cette série statistique.

Exemple (suite) :

C2. Point moyen.

Le point moyen G d'un nuage de points $M_i \left ( x_i ; y_i \right )$ a pour coordonnées $\left ( \overline x \ ; \ \overline y \right )$ où $\overline x$ et $\overline y$ sont les moyennes des séries $\left ( x_i \right )$ et $\left ( y_i \right )$ :

$\overline x \ = \ \dfrac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} \ = \ \dfrac{x_1+x_2+....+x_n}{n}$

$\overline x \ = \ \dfrac{\sum_{i=1}^{n} y_i}{n} \ = \ \dfrac{y_1+y_2+....+y_n}{n}$

Exemple (suite) :

$\overline x \ = \ \dfrac{3+6+9+12+15}{5} \ = \ 9$

$\overline y \ = \ \dfrac{59+65+70+74+77}{5} \ = \ 69$