Equation du second degré

RESOLUTION D’UN PROBLEME

DU SECOND DEGRE

A . Andemo A piaghja !

Gérard, surveillant à la plage doit délimiter une zone de baignade à l'aide d'un filin de 140 m de long.

A1. Situations particulières.

A11. B et B' sont situés à 10 m du rivage.

A11a. Calculer la distance BB'.

A11b. Calculer l'aire de baignade A(10).

A12. B et B' sont situés à 50 m du rivage.

A12a. Calculer la distance BB'.

A12b. Calculer l'aire de baignade.

A2. Situation générale : B et B' sont situés à x mètres du rivage.

A21. Dans quel intervalle se situe x ?

A22. Exprimer l'aire de baignade en fonction de x.

A23. L'aire de baignade A(x) doit être supérieure à 1800 m².

A23a. Compléter le tableau de valeurs suivant :

A23b. Quelles valeurs semblent convenir ?

A23c. Quelle inéquation faut-il résoudre pour satisfaire à la condition ?

A23d. Tracer la courbe donnant l'aire A(x) dans le repère ci-dessous.

A23e. Répondre précisément à la problématique.

A3. Reprendre le travail précédent à l'aide de Geogebra et répondre.

A4. Reprendre le travail précédent à l'aide de la calculatrice et répondre.

B. Résistance équivalente.

Une fois de retour de la plage, Gérard doit réparer le montage électrique ci-contre. La résistance équivalente du montage doit être de $100 \Omega$.

Après de judicieux calculs, la résistance globale est exprimée par la relation :

$R_{éq}= \dfrac {2R^{ \ 2} \ + \ 130 R \ + \ 600}{ R \ + \ 50 }$

B1. Ecrire l'équation que doit vérifier R sous la forme $a \ R^{ \ 2 } \ + \ b \ R \ + \ c \ = \ 0$.

L'équation obtenue est une équation ...........................

B2. Résolution.

B21 Vérifier que l'équation revient à résoudre : $2 \left ( R+55 \right ) \left (R-40 \right ) = 0$

B22. Résoudre.

$ 2 \left (R+55 \right ) \left ( R-40 \right ) =0 $

B3. Conclusion :

• La valeur à donner à la résistance R est : R = ……………………………

• Résoudre une équation ……………………………………. revient à résoudre ……………………….. équations ………………………………

C. Variations des fonctions du second degré.

Une fonction du second degré est une fonction du type : $f : x \mapsto .............................$

C1. Variations.

C11. $f(x) \ = \ 2x^2 -2x + 4$

• Donner les valeurs des coefficients $a \ ,  \ b \ et \ c$.

• Tracer la courbe $C_1$ représentative de la fonction ci-dessus.

• Quelle est le nom de ce type de courbes ?

• Quelles sont les coordonnées de son sommet ?

• Compléter le tableau de variations :

• Calculer la valeur $x_0=- \dfrac {b}{2a}$.

• Comparer cette valeur avec celle de l'abscisse de son sommet.

C12. $g(x) \ = \ -x^2 +2x +8$

• Donner les valeurs des coefficients $a \ ,  \ b \ et \ c$.

• Tracer la courbe $C_2$ représentative de la fonction ci-dessus.

• Quelle est le nom de ce type de courbes ?

• Quelles sont les coordonnées de son sommet ?

• Compléter le tableau de variations :

• Calculer la valeur $x_0=- \dfrac {b}{2a}$

• Comparer cette valeur avec celle de l'abscisse de son sommet.

C13. Variations.

• Quelle est la différence entre ces deux courbes ?

• Comment repérer cette différence ?

C2. Conclusion.

D. Résolution de l'équation $ax² + bx + c = 0$.

D1. Définition.

D2. $h(x) = 2x^2+2x+1$.

• Tracer la courbe représentative de la fonction.

• L'équation $h(x) \ = 0$ admet-elle des solutions ?

• Identifier les valeurs de a, b etc.

• Calculer la valeur du discriminant $\Delta$.

• Quel est le signe de $\Delta$?

D3. $j(x) = x^2-6x+9$.

• Tracer la courbe représentative de la fonction.

• L'équation $j(x) \ = \ 0$ admet-elle des solutions ?

• Identifier les valeurs de a, b etc.

• Calculer la valeur du discriminant $\Delta$.

• Quel est le signe de $\Delta$?

• A quelle valeur correspond la solution ?

D4. $k(x) = x^2-x-2$.

• Tracer la courbe représentative de la fonction.

• L'équation $k(x) \ = \ 0$ admet-elle des solutions ?

• Identifier les valeurs de a, b etc.

• Calculer la valeur du discriminant $\Delta$.

• Quel est le signe de $\Delta$?

• Calculer les valeurs suivante :

$x_1=\dfrac {-b- \sqrt \Delta}{2a}$

$x_2=\dfrac {-b+ \sqrt \Delta}{2a}$

• A quelles valeurs correspondent-elles?

D5. Conclusion.

E. Etude du signe d'un polynôme du second degré.

E1. $m(x) = 2x^2+3x+2$

• Tracer la courbe représentative de la fonction.

• Identifier les valeurs de $a$, $b$ et $c$.

• Calculer la valeur du discriminant $\Delta$.

• Compléter le tableau de signe de la fonction.

• Quel est le signe $a$ ?

E2. $n(x) = x^2-4x+4$

• Tracer la courbe représentative de la fonction.

• Identifier les valeurs de $a$, $b$ et $c$.

• Calculer la valeur du discriminant $\Delta$.

• Compléter le tableau de signe de la fonction.

• Quel est le signe $a$ ?

E3. $p(x) = 2x^2-4x-4$

• Tracer la courbe représentative de la fonction.

• Identifier les valeurs de $a$, $b$ et $c$.

• Calculer la valeur du discriminant $\Delta$.

• Compléter le tableau de signe de la fonction.

• Quel est le signe $a$ ?

E4. $q(x) = -x^2-x+2$

• Tracer la courbe représentative de la fonction.

• Identifier les valeurs de $a$, $b$ et $c$.

• Calculer la valeur du discriminant $\Delta$.

• Compléter le tableau de signe de la fonction.

• Quel est le signe $a$ ?

E5. Conclusion :

F. Factorisation.

F1. $f(x) = 2x^2+4x+2$

• Tracer la courbe représentative de la fonction.

• Identifier les valeurs de $a$, $b$ et $c$.

• Calculer la valeur du discriminant $\Delta$.

• En déduire la valeur de la solution de l'équation $f(x)=0$.

• Développer l'expression : $2 \left ( x+1 \right )^2$.

F2. $g(x) = 2x^2-4x-2$

• Tracer la courbe représentative de la fonction.

• Identifier les valeurs de $a$, $b$ et $c$.

• Calculer la valeur du discriminant $\Delta$.

• En déduire la valeur de la solution de l'équation $f(x)=0$.

• Développer l'expression : $2 \left ( x-3 \right ) \left ( x+1 \right )$.

F3.Conclusion.