Mouvement dans un Champ Uniforme

ACTIVITES

A1 : Mouvement dans un champ de pesanteur.

La pétanque est un jeu consistant à lancer une boule le plus près du cochonnet. Le terrain de jeu est horizontal. Un joueur lance sa boule. Après une trajectoire en "cloche", elle retombe sur le sol et roule pour s'arrêter au plus près du cochonnet.

A11 : Comment établir et exploiter l'équation de la trajectoire d'un projectile dans un champ de pesanteur uniforme ?

• Comment les équations du Doc2 ont-elles été obtenues ? Appliquer de vous-même.

•  Mettre en œuvre le protocole décrit dans le Doc 4. Présenter vos résultats.

•  Vérifier par traitement que les coordonnées de M sont conformes à celles données dans le Doc 3.

• En utilisant l'étude précédente, déterminer les valeurs v₀ et $\alpha$ de la vitesse initiale et de l'angle du lancer.

•  Faire apparaître l'équation de la trajectoire y = f(x). Retrouver cette équation en utilisant le Doc5.

•  Un joueur veut placer sa boule devant le cochonnet situé à 6,1 m de lui. Il lance sa boule d'une hauteur égale à 1,1 m du sol, avec un angle $\alpha = 51°$ à la vitesse v₀ = 7,7 m.s^-1. A-t-il réussi ?

A12. Evolution des énergies d'un système en mouvement dans un champ de pesanteur.

Quelles conversions d'énergie ont lieu lors de l'étude précédente ?

• A partir de l'étude précédente, ajouter les différentes formes d'énergies.

• Faire apparaître ces trois formes d'énergie sur un même graphique, exploiter ce graphique.

A2. Accélérateur de particules.

Un accélérateur de particules est constitué d'une suite de condensateurs. Quel est le principe de fonctionnement d'un accélérateur de particules chargées ?

• Quelle force négligera-t-on lors de cette étude ?

• Donner l'expression de la force électrique $\overrightarrow {F_e} $  subie par le proton dans chaque condensateur.

• Préciser : la charge de chaque plaque des condensateurs lorsque le proton entre dans un condensateur ainsi que la direction et le sens du champ électrique $\overrightarrow E $. Représenter la situation sur un schéma.

• Justifier alors la nécessité d'une source de tension alternative.

• Décrire le mouvement du proton ne subissant aucune force dans chaque tube.

• En utilisant le théorème de l'énergie cinétique, déterminer les longueurs L₁ et L₂ des deux premiers tubes. Calculer ces valeurs.

• Par un raisonnement similaire, déterminer la valeur L_n du n^ième tube.

A3. Imprimante à jet d'encre.

Les imprimantes à jet d'encre continu sont utilisées dans les processus industriels très rapides : marquage en série d'œufs ou de boites de conserve par exemple.

Comment contrôler la trajectoire des gouttes d'encre pour obtenir

une bonne qualité d'impression ?

S'approprier.

• Identifier les paramètres physiques qui influent sur le champ électrique. Et l'influence de leur déviation sur la trajectoire d'une goutte.

• Identifier l'autre paramètre qui influe sur cette déviation.

Réaliser.

• Etablir l'expression, entre les plaques A et B, du vecteur accélération $\vec a $ d'une goutte d'encre modélisée par un point matériel de masse m constante, selon sa charge q.

• A la date t₀ = 0 s, une goutte d'encre pénètre dans la zone de champ uniforme au niveau du point O avec un vecteur $\overrightarrow {v_0} = v_{0} \times \vec i $ . Montrer que l'équation de la trajectoire de la goutte s'écrit : $ z = - \dfrac {qU}{2mdv^2_0} x^2 $   .

Valider, communiquer

• Présenter l'influence des différents paramètres permettant d'ajuster la déviation subie par les gouttes.

• Déterminer la charge électrique que doit posséder une goutte pour obtenir une déviation de 1 mm de déviation à la sortie du condensateur.

• Quel est sont mouvement à la sortie du condensateur ?

• Déterminer alors sa position sur le support placé à une distance D = 1m de la sortie du condensateur.

• Comment modifier le système pour que les gouttes se déplacent aussi sur l'axe des ordonnées (Oy) ?

Exercices : 9, 10 ,11,13 ,14, 15 ,18 ,20, 26 ,28, 30 ,35 P, 303 à 313

COURS

C1. Mouvement dans un champ de pesanteur uniforme.

C11. Accélération.

C11a. Rappel.

Au voisinage de la Terre, celle-ci crée un champ de pesanteur $\vec g = \dfrac {\overrightarrow P}{m} $  où  $\overrightarrow P$ est le poids d'un objet de masse m.

Les caractéristiques du champ  $\overrightarrow g $  ont pour caractéristiques :

• Sa direction : la verticale au lieu d'étude (du centre de gravité de l'objet vars le centre de la Terre).

• Son sens : vers la Terre

• Sa norme (considérée constante) : g = 9,81 N.kg^-1.

C11b. Accélération.

On se place dans le référentiel terrestre, supposé galiléen. On étudie le mouvement d'un corps de masse m dont la masse est supposée concentrée en son centre de gravité G, dans un repère $\left (O ; \vec i ; \vec j \right ) $  . Soumis uniquement à son poids $\overrightarrow P$  . Le corps est lancé d'un point à la position initiale   (x0 ; y0 )  avec une vitesse $\overrightarrow v_0$ , faisant un angle α avec l'horizontale.

D'après la deuxième loi de Newton : $\sum {\overrightarrow {F_{ext}}} = m\times \vec a $ $\overrightarrow P = m \times \overrightarrow a \Leftrightarrow m\times \overrightarrow g = m\times \overrightarrow a $

Son accélération est donc :   

$ \vec a = \vec g = \begin{pmatrix}a_x(t)=0\\a_y(t)= -g\end{pmatrix}$

C12. Equations horaires du mouvement.

C12a. Vitesse.

Comme $\overrightarrow a = \dfrac {d \overrightarrow{v(t)}}{dt}$, on déduit de la relation précédente : $ \overrightarrow {v(t)} =\begin{pmatrix} v_x (t) = v_0 \times cos\alpha \\v_y (t) = -gt + v_0 \times sin\alpha\end{pmatrix}$     Soit : $$ \overrightarrow {v(t)} =\begin{pmatrix} v_x (t) = v_0 \times cos\alpha \\v_y (t) = -gt + v_0 \times sin\alpha\end{pmatrix}$$

Remarques :

C12b. Position.

Comme  $ \overrightarrow {v(t)}=\dfrac {d \overrightarrow{OG(t)}}{dt}$, on déduit de la relation précédente :

$$ \overrightarrow {OG(t)} =\begin{pmatrix} x (t) = v_0 \times cos\alpha \times t + x_0 \\
y (t) = -\dfrac{1}{2}gt^2 + v_0 \times sin\alpha \times t + y_0\end{pmatrix}$$

C13. Equation de la trajectoire.

On a obtenu ci-dessus un système d'équations paramétriques, dont le paramètre est le temps t.

En exprimant le temps en fonction de la grandeur x, on obtiendra une relation entre l'abscisse x et l'ordonnée y.

Ce qui nous donnera l'équation de la trajectoire du mobile.

Comme $ x(t) = v_0 \times cos\alpha \times t + x_0 $  : $ t = \dfrac {x-x_0}{v_0cos\alpha} $ .

En reportant dans l'équation horaire de y(t)  :

$ y = - \dfrac {1}{2} g \left ( \dfrac {x-x_0}{v_0 cos \alpha }\right )^2 + v_0\times sin\alpha \times \left ( \dfrac {x-x_0}{v_0\times cos\alpha} \right )+y_0$

$ y = - \frac {1}{2} g \left ( \dfrac {x-x_0}{v_0 cos \alpha }\right )^2 +  tan\alpha \times  ( x-x_0)+y_0$

Il s'agit de l'équation d'une parabole ( y =Ax² + Bx + C) où les grandeurs A, B et C constantes dépendent des conditions initiales, v₀, α, x₀ et y₀.

C14. Aspect énergétique.

C14a. Rappels.

Travail d'une force conservative :

Lors d'un déplacement de A vers B, le travail d'une force $\overrightarrow F $  s'écrit : $ W_{A \rightarrow B}  \left ( \vec {F} \right ) =\overrightarrow F. \overrightarrow  {AB} $

C14b. Théorème de l'énergie cinétique.

C14c. Energie mécanique.

L'énergie mécanique est la somme des énergies potentielle est cinétique : Em = Ec + Ep Elle se conserve.

C2. Mouvement dans un champ électrique uniforme.

C21. Accélération.

On se place dans le référentiel terrestre, supposé galiléen. La particule se déplace dans le champ uniforme $ \overrightarrow E = - \dfrac {U}{d} . \overrightarrow i $  . On étudie le mouvement d'un corps de masse m dont la masse est supposée concentrée en son centre de gravité G, de charge q négative dans un repère  $ \left ( O ; \vec i ; \vec j \right ) $ . Soumis uniquement à la force électrostatique $ \overrightarrow F = q \overrightarrow E $ . Le corps entre dans le champ en un point à la position initiale ( 0 ; 0 ) avec une vitesse $ \overrightarrow {v_0} $ , faisant un angle a avec l'axe (Ox). NB : dans le cas étudié ici, la charge q est négative (pour être attirée par la plaque positive). D'après la deuxième loi de Newton : $\sum {\overrightarrow {F_{ext}}} = m. \overrightarrow a $  soit :  $ q\overrightarrow E = m. \overrightarrow a \Leftrightarrow \overrightarrow a = - \dfrac {qE}{m}. \vec i$ Son accélération est donc : $ \overrightarrow {a(t)} =  \begin{pmatrix} a_x (t) = \dfrac {\lvert q \rvert E}{m} \\ a_y (t) = 0 \end{pmatrix}$

C22. Equations horaires du mouvement.

C22a. Vitesse.

Comme   $ \overrightarrow {a(t)} = \dfrac {d \overrightarrow{v(t)}}{dt}$, on déduit de la relation précédente : $ \overrightarrow {v(t)} =  \begin{pmatrix} v_x (t) = \dfrac {\lvert q \rvert E}{m} \times t + v_0 cos\alpha \\ v_y (t) = v_0 sin\alpha \end{pmatrix}$

Remarques :

C22b. Position.

Comme  $ \overrightarrow {v(t)} = \dfrac {d\overrightarrow {OG(t)}}{dt} $, on déduit de la relation précédente :

$ \overrightarrow {OG(t)} =  \begin{pmatrix} x (t) = \dfrac {\lvert q \rvert E}{m} \times t^2 + v_0 cos\alpha \times t\\ y (t) = v_0 sin\alpha \times t \end{pmatrix}$
 

C23. Equation de la trajectoire.

On a obtenu ci-dessus un système d'équations paramétriques, dont le paramètre est le temps t.

En exprimant le temps en fonction de la grandeur x, on obtiendra une relation entre l'abscisse x et l'ordonnée y.

Ce qui nous donnera l'équation de la trajectoire du mobile.

Comme $  y(t) = v_0 sin\alpha \times t $  : $ t = \dfrac {y}{v_0 sin\alpha } $ .

En reportant dans l'équation horaire de x(t)  :

$ x(t) = \dfrac {\lvert q \rvert E}{2m} \left ( {\dfrac {y}{v_0sin\alpha}} \right )^2+v_0cos\alpha \times \left ( {\dfrac {y}{v_0sin\alpha}} \right ) $

$ x(t) = \dfrac {\lvert q \rvert E}{2mv^2_0 sin^2\alpha} y^2 +tan\alpha \times y $
 

Il s'agit de l'équation d'une parabole ( x =Ay² + By ) où les grandeurs A, et B  constantes dépendent des conditions initiales, v₀, α, et aussi des valeurs de la charge q, de la masse m de la particule et de celle du champ E.

C21. Aspect énergétique.

C21. Rappels.

Travail d'une force conservative :

Lors d'un déplacement de A vers B, le travail d'une force $\overrightarrow F $  s'écrit : $ W_{A \rightarrow B}  \left ( \vec {F} \right ) = \overrightarrow  {F}. \overrightarrow  {AB} $

Dans la cas de la force électrostatique : $ W_{A \rightarrow B}  \left ( \overrightarrow {F_{el}} \right ) = q . \overrightarrow E . \overrightarrow  {AB} = qE \times d = qU $
 

C22. Théorème de l'énergie cinétique.

Dans le cas où $ \overrightarrow {F_{el}}.\overrightarrow {AB} > 0 $ : la vitesse de la particule augmente.

Dans le cas où $ \overrightarrow {F_{el}}.\overrightarrow {AB} < 0 $  : la vitesse de la particule diminue.