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Mécanique des fluides

Exercice n°10 P 351 : Origine de la poussée d'Archimède.

1a.

Tale 10 p 351 bis

1b.

Les forces FC et FD ont la même direction (l'horizontale), des sens opposés. Elles ont la même norme, s'exerçant aux centres de deux faces ayant la même surface, à la même profondeur : FC + FD = 0.

Les forces FA et FA ont la même direction (la verticale), des sens opposés. Par contre, elles n'ont la même norme. C étant plus profond que A, la pression au point C est plus grande que celle s'exerçant en A : FC > FA.

2a.

La somme vectorielle de ces forces correspond à la poussée d'Archimède : FA + FB + FC + FD = π.

2b.

π = ρf×V×g =  ρf×V×g×k.

Exercice n°12 P 351 : Entraînement des spationautes.

1.

 P1 = m×g = 200×9,81 = 1,96×103 N

 π = ρf×V×g = 1,0.10 3×0,19×9,81 = 1,9×103 N

 

2.

Tale 12 p 351

3.

P2 = P1  π = 1,96×103  1,9×103 = 9,81×102N

La masse correspondante serait : m = P2g = 10 kg.

 

Exercice n°13 P 351 : Paramètres d'influence de la poussée d'Archimède.

1.

π = ρf×V×g

π : valeur de la poussée d'Archimède, en N.

ρf : masse volumique du fluide en kg.m 3.

V : volume de fluide déplacé en m 3.

g : intensité de la pesanteur en m.s 2.

2.

Masse A : PA = 91,8.103×9,81 = 9,01.10 1 N

Masse A' : PA = 135.103×9,81 =1,32 N

Masse B : PB = 267.103×9,81 =2,62 N

3a.

Les paramètres mis en jeu sont le corps du solide, la masse du corps, le type de matériau, le type de fluide et la profondeur d'immersion.

3b,c.

Comparaison des situations 1 et 2.

Le paramètre mis en jeu est le volume du solide (même matériau, même fluide et même profondeur).

π1 = 9,01.10 1  5,1.10 1 = 0,33 N

π2 = 1,32  0,83 = 0,49 N

Les mesures étant différentes : le volume a une influence sur la poussée d'Archimède.

Comparaison des situations 1 et 3.

Le paramètre mis en jeu est la profondeur d'immersion (même solide).

Les mesures étant les mêmes : la profondeur n'a pas d'influence.

Comparaison des situations 1 et 4.

Le paramètre mis en jeu est le type de matériau (même liquide, même profondeur, même volume).

π1 = 9,01.10 1  5,1.10 1 = 0,33 N

π4 = 2,62  2,3 = 0,32 N

Les mesures étant les mêmes : le type de matériau n'a pas d'influence.

Comparaison des situations 1 et 5.

Le paramètre mis en jeu est le type de liquide (même solide et même profondeur).

π1 = 9,01.10 1  5,1.10 1 = 0,33 N

π5 = 9,01.10 1  0,64 = 0,26 N

Les mesures étant différentes : le type de fuide a une influence.

Exercice n°14 P 352 : A la station-service.

1a.

Environ 5 minutes... Δt = 300 s.

1b.

Le débit volumique correspond au volume de fluide qui s'écoule par unité de temps: D = VΔt.

AN : D = 50.103300 = 0,17.10 4 m3.s 1.

1c.

QD = 2,4. Le temps évalué à la question pécédente, n'est pas correct.

2a.

S = π×D24 = π×(16.10 3)24 = 2,0.10 4 m2.

2b.

Q =S×v  v = SQ =4,0.10 42,0.10 4 = 2,0 m.s 1

Exercice n°15 P 352 : Circulation sanguine.

1a.

Le débit volumique correspond au volume de fluide qui s'écoule par unité de temps: D = VΔt.

1b.

Le débit est de 5,0 L par minute, soit un volume V = 5,0.10 3 m 3 pendant l'intervalle Δt = 60 .

AN : D = VΔt = 5,0.10 360 = 8,3.10 5 m3.s 1.

2a.

D'après la réponse précédente, chaque seconde, 8,3.10 5 m3 de sang s'écoule.

2b.

D = VΔt = S×ΔLΔt = S×v, donc : v = DS = 8,3.10 52,5.10 4 = 0,33 m.s 1

3a.

Le débit sanguin est conservé : D = 8,3.10 5 m3.s 1

3b.

D'après la définition, D = S×v. Donc, à D constant, si S diminue, v augmente.

Exercice n°18 P 352 : Ecoulement dans une bouteille percée.

1a.

Tale 18 p 352

D'après le graphique, V(t) n'est pas une fonction linéaire. Les coefficients directeur des tangentes à la courbe V(t) correspondant au débit D = ΔVΔt diminuent avec le temps.

1b.

Tale 18 p 409 1b 1

A l'instant t = 0 s : D0 = 1005 = 20 mL.s 1

A l'instant t = 16 s : D16 = 254 = 6,3 mL.s 1

Le débit volumique n'est pas constant.

Exercice n°19 P 353 : Ecoulement sans frottement.

Tale 19 p353

1.

ρ×v212 + ρ×g×z1 + p1 = ρ×v222 + ρ×g×z2 + p2

1000×1,022 + 1000×g×6,5 + 1,0.10 5 = 1000×0,4522 + 1000×g×3,0 + p2

1,64.10 5 = 2,95.10 4 + p2

2.

p2 =ρ×v212 + ρ×g×z1 + p1  ρ×v222 + ρ×g×z2

p2 =ρ×(v21  v21)2 + ρ×g×(z1  z2) + p1

p2 = 1,64.10 5  2,95.10 4 = 1,35.10 5 Pa

Exercice n°20 P 353 : Analyse dimensionnelle.

Relation de Bernoulli : ρ×v22 + ρ×g×z + p = Cste

1.

ρ : masse volumique du fluide en kg.m 3

v : vitesse du fluide au ppint considéré en m.s 1.

g : accélération de la pesanteur en m.s 2.

p1 : pression au point du fluide en Pa.

2.

[ρ×v22] = kg.m 3×(m.s 1)2 =kg.m 3.m2.s 2 = kg.m 1.s 2

[ρ× g×z] = kg.m 3×m.s 2×m=kg.m 3.m 2.s 1 = kg.m 1.s 2

La pression est le rapport d'une force à une surface : [p] = N.m 2

D'après la 2ème loi de Newton (ΣF = m×a), la force est le produit d'une masse à une accélération : [p] = kg.m.s 2.m 2= kg.m 1.s 2

Les trois termes de la relation de Bernoulli ont bien la même dimension.

Exercice n°21 P 353 : Chimie industrielle de synthèse.

Le débit est constant : DA = DB SA×vA = SB×vB.

La canalisation ayant de même rayon, la surface en A et en B est la même, donc : vA = vB.

D'après la relation de Bernoulli : ρ×v2A2 + ρ×g×zA + pA = ρ×v2B2 + ρ×g×zB + pB

ρ×g×zA + pA = ρ×g×zB + pB.

pB =ρ×g×(zA  zB) + pA.

AN : pB =784×9,81×(0,5  4,5) + 3,5×1,13.10 5 = 3,24.10 5 Pa.

Exercice n°22 P 353 : Rétrécissement d'un écoulement.

1.

A débit constant, DA = DB SA×vA = SB×vB  SASB =vBvA.

Comme SA>SB : vB<vA

2a.

Relation de Bernoulli : ρ×v2A2 + ρ×g×zA + pA = ρ×v2B2 + ρ×g×zB + pB

A et B étant à la même altitude, zA = zB on a : ρ×v2A2 + pA = ρ×v2B2 + pB

2b.

ρ×v2B2  ρ×v2A2 =pA  pB

 ρ2×(v2B  v2A) =pA  pB

 v2B  v2A =(pA  pB)×2ρ

 v2B = 2(pA  pB)ρ + v2A

 vB = 2(pA  pB)ρ + v2A

AN : vB = 2(1002.10 2  987×10 2)825 + 4,52 = 4,9 m.s 1

On obtient bien au point B une vitesse supérieure à celle au point A.

Exercice n°23 P 353 : La portance.

Tale 23 p353

L'air parcourt une distance plus grande sur la surface supérieure de l'aile pendant le même intervalle de temps que celui sur la surface inférieure.

La vitesse de l'air sur la face supérieure est donc plus grande que la vitesse de l'air sur la face inférieure.

La vitesse de l'air sur la face supérieure est donc plus grande que la vitesse de l'air sur la face inférieure.

La relation de Bernoulli : ρ×v2sup2 + ρ×g×zsup + psup = ρ×v2inf2 + ρ×g×zinf + pinf

A la même altitude : ρ×v2sup2 + psup = ρ×v2inf2 + pinf

 pinf  psup = ρ2×(v2sup  v2inf) > 0

La pression sur la face inférieure est donc supérieure à la pression sur la face inférieure. Cette différence de pression induit une force verticale, orientée vers le haut : la portance.

Exercice n°27 P 355 : Le ludion.

1a,b.

Tale 27 p355

A l'équilibre, le poids P et la poussée d'Archimède π se compensent :

mL×g = ρeau×(VA + vB)×g

VA = mLρeau  vB

AN:VA = 6,8.10 3ρ1000  1,8.10 6 = 5,0.10 6 m 3 soit 5 cm 3

 

2a.

En comprimant la membrane, le volume VA diminue.

2b.

La quantité de matière en air n'ayant pas changé, la masse totale du ludion est la même.

Alors, la valeur de la poussée d'Archimède ne compense plus le poids. Le ludion descend.

Exercice n°29 P 356 : Fontaine à eau.

1a.

Le dédit est : D = S×v  v = DS = Dπd2/4 = 4×Dπd2 = 4×1/60π(25.10 3)2 = 34m.s 1

La conservation du débit s'écrit : D = S1×v1 = S2×v2 S1S2 = v2v1

Ainsi, si S2<S1, le rapport S1S2 = v1v2 est inférieur à 1. Et donc v1v2<1.

La surface à l'orifice étant supérieure à celle à l'entrée de la tuyère, la vitesse est plus grande que la vitesse à l'entrée de la tuyère est supérieure à celle dans la canalisation.

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